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Factorization system

　Model structureの中でlifting propertyとfactorizationに関する情報を抽出したのが、Factorization systemと呼ばれるものである。圏Cに二つのmorphismのclassである(L,R)が与えられ、これによるfactorizationとuniqueなlift propertyがあるものをfactorization systemと呼ぶ。model categoryのようにuniquenessを省略したものはweak factorization systemというらしい。
　もっとも安易なのは集合の圏で、（単射、全射）というペアがfactorization systemになっている。
　factorization systemはM.Gouldの【Go07】、weak factorization systemならR.Garnerの【Ga07】を見るとよい。Garberはさらにcofibrantly generatedな状況を考えている。【RT08】ではfactorization systemと後半でtorsion theoryについて書かれている。categoryのfactorization systemをmonadの言葉を使って考えているのは【Gra01】である。
　Model categoryとweak factorization systemについて丁寧に書かれているのは、Riehlの【Rie07】の後半である。ここでは、chain complexのcategoryとsmall categoryのcategoryのfolk model structureを例に挙げて解説してある。さらに【Rie09】ではmodel categoryにおいてnatural weak factorization systemを考える事を提唱している。
　factorization systemを備えたcategoryを考え、そのfactorization systemの間の対応を考えようという試みもある。【Pis07】ではfactorization systemを備えたcategoryのcategoryに対応する概念を与えている。その最後にはgraph, posetを例として挙げている。